sample 1: 3 3 2 4 1 mean: 2.6sample 2: 6 1 1 6 1 mean: 3sample 3: 6 5 6 6 5 mean: 5.6Angewandte Statistik – Ein Praxiskurs
2026-11-04
Deskriptive Forschung
Experimentelle Forschung
Starke Inferenz erfordert eine klare Hypothese und experimentelle Forschung.
Schwache Inferenz aus Beobachtungen und Daten abgeleitet.
\(\rightarrow\) deskriptive Forschung liefert die Daten für die Hypothesenbildung.
Wird einem englischen Philosophen aus dem 14. Jahrhundert zugeschrieben („Ockhams Rasiermesser“)
Wenn man zwei konkurrierende Theorien hat, die genau die gleichen Vorhersagen machen, ist die einfachere die bessere.
Im Zusammenhang mit der statistischen Analyse und Modellierung:
Einer der wichtigsten wissenschaftlichen Grundsätze
\(\rightarrow\) Aber die Natur ist komplex, eine zu starke Vereinfachung muss vermieden werden.
y = a + b \(\cdot\) x
Variablen: alles, was gemessen oder experimentell manipuliert wird, z. B. die Phosphorkonzentration in einem See, die Lufttemperatur oder die Abundanz von Tieren
Parameter: Werte, die durch ein statistisches Modell geschätzt werden, z. B. Mittelwert, Standardabweichung, Steigung eines linearen Modells.
Unabhängige Variablen Erklärungsvariablen, Prädiktoren)
Abhängige Variablen (Zielgröße, Zielvariablen, vorhergesagte Variablen)
Das Niveau der Variablen steigt von der binären zur Verhältnis-Skala. Es ist immer möglich, ein höheres in ein niedrigeres Niveau umzuwandeln.
Das Niveau der Variablen steigt von der binären zur Verhältnis-Skala. Es ist immer möglich, ein höheres in ein niedrigeres Niveau umzuwandeln:
Die Umwandlung in eine niedrigere Skala führt zu einem gewissen Informationsverlust, ermöglicht aber die Verwendung zusätzlicher Methoden aus der untergeordneten Skala.
Erklärung: Wenn wir die Rangkorrelation auf metrische Daten anwenden, wenden wir im Wesentlichen eine Methode für die Ordinalskala auf metrische Daten an. In diesem Fall verlieren wir Informationen über die Unterschiede zwischen den Werten, verringern aber auch den Einfluss von Extremwerten und Ausreißern.
Die Umwandlung von metrischen in binäre Daten kann sinnvoll sein, wenn die metrischen Daten nicht genau genug sind. So kann beispielsweise die Zählung von Tieren (z. B. Wölfen) in einem bestimmten Gebiet von zu vielen Faktoren abhängen (Struktur der Landschaft, Erfahrung der Menschen, Jahreszeit usw.), so dass die genauen Zahlen (Häufigkeiten) fraglich sind. In solchen Fällen ist eine Umwandlung in eine binäre Skala (vorhanden/abwesend) und die Anwendung eines entsprechenden Tests (z. B. logistische Regression oder Fisher’s exakter Test) zuverlässiger.
Klassische Definition
\[ p = \frac{\text{Anzahl der ausgewählten Fälle}}{\text{Anzahl aller möglichen Fälle}} \]
Axiomatische Definition
Stichprobe
Objekte, von denen wir Messungen oder Beobachtungen haben
Grundgesamtheit
Menge aller Objekte, die die gleiche Chance hatten, Teil der Stichprobe zu werden.
\(\Rightarrow\) Die Grundgesamtheit wird durch die Art der Stichprobengewinnung definiert
\(\Rightarrow\) Die Grundgesamtheit, auf die wir schließen wollen, und die, aus der die Stichprobe tatsächlich stammt, sollten übereinstimmen.
\(\Rightarrow\) Repräsentativität wird durch das Stichprobendesign erreicht – nicht durch Stichprobengröße allein.
Beispiel
Fische am Ufer gefangen – repräsentativ für den See?
Zufallsstichprobe
Geschichtete Stichprobe
Die Grundgesamtheit wird in Klassen ähnlicher Objekte (Schichten oder Strata) unterteilt.
Die Schichten werden getrennt analysiert, danach werden die Informationen gewichtet und kombiniert, um Rückschlüsse auf die Grundgesamtheit zu ziehen.
Die geschichtete Stichprobe erfordert Informationen über die Größe und Repräsentativität der Schichten.
Beispiele: Wahlprognosen, Tiefenschichten in einem See, Altersklassen von Tieren.
Zufallsstichprobe: Zufall entscheidet, wo und was beprobt wird.
Geschichtete Stichprobe: Vorwissen strukturiert die Stichprobe, der Zufall entscheidet innerhalb jeder Schicht.
Beispiel
Die Uferfische wären repräsentativ gewesen, wenn der See stratifiziert worden wäre:
Vorteile: Gesamtstichprobenumfang kann verringert werden, Zusatzinformationen zu den einzelnen Schichten, höhere Präzision.
Voraussetzung: Schichten überschneidungsfrei und vollständig, Größe der Schichten muss bekannt sein.
Gefahr: Systematischer Fehler (Bias), wenn die Gewichtung nicht stimmt.
Zufallsfehler
Systematische Fehler auch Bias genannt
Merksatz: Präzision ≠ Richtigkeit
“Wahre” Parameter der Grundgesamtheit
“Berechnete” Parameter aus einer Stichprobe
Eine einzelne Messung \(x_i\) einer Zufallsvariablen \(X\) kann als Summe des Erwartungswertes \(\mathbf{E}(X)\) der Zufallsvariablen und eines Zufallsfehlers \(\varepsilon_i\) formuliert werden.
\[\begin{align} x_i &= \mathbf{E}(X) + \varepsilon_i\\ \mathbf{E}(\varepsilon)&=0 \end{align}\]
Beispiel:
Beispiel: 3 Personen mit 5 Versuchen:
sample 1: 3 3 2 4 1 mean: 2.6sample 2: 6 1 1 6 1 mean: 3sample 3: 6 5 6 6 5 mean: 5.6Gesamtmittelwert: \(\bar{x} = 3.73\) liegt näher an \(\mu = 3.5\).